O aluno resolve um problema de longa data sobre os limites da adição
A versão original de esta história apareceu em Quanta revista.
As idéias mais simples em matemática também podem ser as mais desconcertantes.
Pegue adição. É uma operação direta: uma das primeiras verdades matemáticas que aprendemos é que 1 mais 1 é igual a 2. Mas os matemáticos ainda têm muitas perguntas não respondidas sobre os tipos de padrões aos quais a adição pode dar origem. “Esta é uma das coisas mais básicas que você pode fazer”, disse Benjamin Bedertum estudante de graduação na Universidade de Oxford. “De alguma forma, ainda é muito misterioso de várias maneiras.”
Ao investigar esse mistério, os matemáticos também esperam entender os limites do poder da adição. Desde o início do século XX, eles estudam a natureza dos cenários “sem soma”-setores de números em que não há dois números no conjunto adicionará a um terceiro. Por exemplo, adicione dois números ímpares e você receberá um número par. O conjunto de números ímpares é, portanto, livre de soma.
Em um artigo de 1965, o prolífico matemático Paul Erdős fez uma pergunta simples sobre como os conjuntos sem soma são comuns. Mas por décadas, o progresso no problema foi insignificante.
“É uma coisa muito básica que tivemos um entendimento chocante”, disse Julian Sahasrabudheum matemático da Universidade de Cambridge.
Até este fevereiro. Sessenta anos depois que Erdős colocou seu problema, Bedert resolveu. Ele mostrou que em qualquer conjunto composto por números inteiros – os números de contagem positiva e negativa – um grande subconjunto de números que devem ser livres de soma. Sua prova chega às profundezas da matemática, aprimorando as técnicas de campos díspares para descobrir a estrutura oculta não apenas em conjuntos livres de soma, mas em todos os tipos de outras configurações.
“É uma conquista fantástica”, disse Sahasrabudhe.
Preso no meio
O ERDőS sabia que qualquer conjunto de números inteiros deve conter um subconjunto menor e sem soma. Considere o conjunto {1, 2, 3}, que não é livre de soma. Ele contém cinco subconjuntos diferentes de soma, como {1} e {2, 3}.
Erdős queria saber o quão longe esse fenômeno se estende. Se você tem um conjunto com um milhão de números inteiros, qual o tamanho do seu maior subconjunto sem soma?
Em muitos casos, é enorme. Se você escolher um milhão de números inteiros aleatoriamente, cerca de metade deles será estranho, oferecendo um subconjunto sem soma com cerca de 500.000 elementos.
Em seu artigo de 1965, Erdős mostrou – em uma prova que tinha apenas algumas linhas de comprimento e aclamada como brilhante por outros matemáticos – que qualquer conjunto de N Inteiros tem um subconjunto sem soma de pelo menos N/3 elementos.
Ainda assim, ele não estava satisfeito. Sua prova tratava de médias: ele encontrou uma coleção de subconjuntos sem soma e calculou que seu tamanho médio era N/3. Mas, nessa coleção, os maiores subconjuntos geralmente são considerados muito maiores que a média.
O ERDőS queria medir o tamanho desses subconjuntos de soma extra-grande.
Os matemáticos logo levantaram a hipótese de que, à medida que seu conjunto aumenta, os maiores subconjuntos sem soma ficarão muito maiores do que N/3. De fato, o desvio crescerá infinitamente grande. Esta previsão-que o tamanho do maior subconjunto sem soma é N/3 mais algum desvio que cresce para o infinito com N-agora é conhecido como conjectura de conjuntos sem soma.
